4.1 เปอร์เซ็นไทล์
เปอร์เซ็นไทล์(Percentile) หมายถึงตำแหน่งที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนร้อยละเท่าไรของจำนวนคะแนนที่มีค่าต่ำกว่าของคะแนนที่ตำแหน่งนั้น
เช่น นักศึกษาคนหนึ่งสอบวิชาภาษาไทยได้ 54คะแนนและคะแนน 54 นี้อยู่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 60 หมายความว่าร้อยละ 60 ของนักศึกษากลุ่มนั้นได้คะแนนวิชาภาษาไทยต่ำกว่า 54 คะแนน
4.1.1 การคำนวณหาค่าคะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดให้
การคำนวณหาค่าเฉลี่ยที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดให้สามารถทำได้ 2 วิธี คือสำหรับคะแนนที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่และสำหรับคะแนนที่จัดหมวดหมู่
1. การคำนวณหาคะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดให้สำหรับข้อมูลที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่
ตัวอย่าง ผลการสอบวิชาสถิติของนักศึกษาระดับประกาศนียบัตรวิชาชีพชั้นสูงจำนวน 20 คน ได้คะแนนสอบดังต่อไปนี้
67 45 73 78 38 54 61 41 53 36
55 37 74 65 47 34 66 68 77 44
คะแนนเท่าไรที่แสดงว่านักศึกษาร้อยละ 75 ของนักศึกษา 20 คนนี้ได้คะแนนต่ำกว่าคะแนนนั้น
วิธีทำ ก.เรียงลำดับคะแนนสอบจากน้อยไปหามาก
ดังนี้
34 36 37 38 41 44 45 47 53 54
55 61 65 66 67 68 73 74 77 78
ข.หาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดให้ จากตำแหน่งของคะแนนที่เรียงลำดับแล้วในข้อ 1คะแนนในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 75 คือ (75x20) / 100= 15
ดังนั้นจากคะแนนที่เรียงลำดับแล้วตำแหน่งที่ 15 คือคะแนน 67
2. การคำนวณหาค่าคะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดให้สำหรับข้อมูลที่จัดหมวดหมู่การคำนวณหาคะแนนในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่กำหนดสามารถทำได้ 3 วิธีคือ ใช้สูตรเทียบบัญญัติไตรยางศ์และใช้โค้งความถี่สะสม
วิธีคำนวณคล้ายกับการคำนวณหาค่ามัธยฐานต่างกันที่การหาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ในคะแนนชุดนั้นจะไม่ใช่คะแนนในตำแหน่งกลาง (N/2) เหมือนกับมัธยฐานซึ่งใช้สูตรในการคำนวณตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์
คือ
Pr=L+I{(Fn-F1)/(F2-F1)}
เมื่อ Pr
= คะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ
L
= ขีดจำกัดล่างชั้นที่มี Fnอยู่
I
= ความกว้างของอันตรภาคชั้น= ขีดจำกัดบน-ขีดจำกัดล่าง
Fn= ความถี่สะสมของตำแหน่งที่ต้องการ=(PxN) / 100
F1= ความถี่สะสมของชั้นที่อยู่ถัดจากชั้นFnไปทางคะแนนน้อย
F2=ความถี่สะสมชั้นFn
4.1.2 การคำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนที่กำหนดให้
สามารถทำได้2 วิธี คือ
สำหรับคะแนนที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ และสำหรับคะแนนที่จัดหมวดหมู่
1. การคำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนที่กำหนดให้สำหรับข้อมูลที่ได้จัดหมวดหมู่ให้เรียงลำดับของคะแนนจากน้อยไปมากแล้วตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์
จากสูตร
P.R.
= (100 R) / N
เมื่อ P.R. = ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์
R =อันดับที่ของคะแนน
N =จำนวนประชากร
ตัวอย่าง ผลการสอบรายวิชาภาษาอังกฤษของนักศึกษาชั้นปีที่ 3 จำนวน 10 คน มี คะแนนเรียงลำดับจากน้อยไปหามากดังนี้ 32 43 44 51 55 63 66 70 75 84 จงหาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนของนักศึกษา 10 คนดังนี้
วิธีทำ คะแนนที่เป็นอันดับที่ 1 คือ คะแนนต่ำสุดของคะแนนชุดนี้ คือ 32 สามารถคำนวณหาเปอร์เซ็นไทล์ได้จากสูตร
P.R.
= (100 R)/ N
P.R.(1) = (100(1)) /10
= 100 / 10
= 10
P.R.(2)= (100(2)) / 10
= 200 / 10
= 20
ดังนั้น ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนของนักศึกษา 10 คนนี้คือ 10,20,30,…, 100
2. การคำนวณหาตำแหน่งของเปอร์เซ็นไทล์ของคะแนนที่กำหนดให้สำหรับข้อมูลที่จัดหมวดหมู่
คำนวณหาตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ จากสูตร
Pr
= L+I{(Fn-F1) / (F2-F1)}
เมื่อ Pr = คะแนนที่ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ต้องการ
L
= ขีดจำกัดล่างชั้นที่มี Fnอยู่
I
= ความกว้างของอันตรภาคชั้น = ขีดจำกัดบน-ขีดจำกัดล่าง
Fn
= ความถี่สะสมของตำแหน่งที่ต้องการ =
(PxN) / 100
F1 = ความถี่สะสมของชั้นที่อยู่ถัดจากชั้น Fnไปทางคะแนนน้อย
F2 = ความถี่สะสมชั้น Fn
ตัวอย่างตารางที่ 1 จงหาว่าคะแนน 35 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าไรซึ่งคะแนนนักศึกษา 50 ดังนี้
คะแนน
|
ความถี่
|
10-19
|
2
|
20-29
|
8
|
30-39
|
9
|
40-49
|
14
|
50-59
|
8
|
60-69
|
6
|
70-79
|
3
|
N
= 50
|
วิธีทำ (1) สร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมาก
คะแนน
|
ความถี่
|
ความถี่สะสม
|
10-19
|
2
|
2
|
20-29
|
8
|
10
|
30-39
|
9
|
19
|
40-49
|
14
|
33
|
50-59
|
8
|
41
|
60-69
|
6
|
47
|
70-79
|
3
|
50
|
N
= 50
|
จงสร้างตารางความถี่สะสมแสดงว่าคะแนน 35 อยู่ในชั้นคะแนน 30-39 ดังนี้
L
= 29.5
I = 19.5-9.5 = 10
F1 = 10
F2 = 19
ข. หาตำแหน่งที่ต้องการ Fnจากสูตร
Pr=
L+I {(Fn-F1) / (F2-F1)}
35= 29.5+10 {Fn-10) / (19-10)}
35-29.5 = 10 {Fn-10) / 9}
5.5 = (10/9)(Fn-10)
(5.5)(9) /10 = Fn-10
4.95 = Fn-10
Fn= 14.95
เนื่องจาก Fn = (PxN) 100 จะได้
14.95 = (Px50) 100
P = 14.95 x 100/50
P = 29.9
ดังนั้น คะแนน 35 อยู่ในตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ 29.9
4.2 เดไซล์
เดไซล์ (Decile) หมายถึง
ตำแหน่งที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนข้อมูลเท่าไรใน 10 ส่วนของจำนวนข้อมูลทั้งหมดมีค่าต่ำกว่าข้อมูลที่ต่ำแหน่งนั้น เช่น
นักศึกษาคนหนึ่งสอบวิชาสังคมศึกษาได้คะแนน 55 คะแนนและคะแนน 55 นี้ อยู่ในตำแหน่งเดไซล์ที่ 7 (D7) หมายความ
ว่า 7 ใน 10 ของนักศึกษากลุ่มนั้นได้คะแนนวิชาสังคมศึกษาสูงกว่า 55 คะแนน
เปรียบเทียบเดไซล์และเปอร์เซ็นไทล์ ดังนี้
D1 = P10
D2 = P20
… …
D10 = P100
ดังนั้น การคำนวณหาเดไซล์จึงใช้วิธีเดียวกันกับการคำนวณหาเปอร์เซ็นไทล์ต่างกันที่การแบ่งหมู่เท่านั้น
คือ การคำนวณเดไชล์ต้องแบ่งหมู่ออกเป็น 10 ส่วน แต่เปอร์เซ็นไทล์แบ่งหมวดหมู่เป็น 100 ส่วน
4.3 ควอไทล์
ควอไทล์ (Quartile) หมายถึง
ตำแหน่งที่แสดงให้ทราบว่ามีจำนวนข้อมูลเท่าไรใน4ส่วนของจำนวนข้อมูลทั้งหมดที่มีค่าต่ำกว่าข้อมูลที่ตำแหน่งนั้น
เช่น นักศึกษาคนหนึ่งสอบวิชาสถิติได้คะแนน 72 คะแนนและคะแนน72อยู่ในตำแหน่งควอไทล์ที่3(Q3) หมายความว่า 3 ใน 4 ของนักศึกษากลุ่มนั้นได้คะแนนวิชาสถิติต่ำกว่า 72 คะแนนและ 1 ใน 4 ของ
นักศึกษากลุ่มนั้นได้คะแนนวิชาสถิติสูงกว่า 72 คะแนน
เปรียบเทียบควอไทล์ และเปอร์เซ็นไทล์ ดังนี้
Q1 = P25
Q2 = P50
Q3 = P75
D10= P100
ดังนั้น การคำนวณหาควอไทล์จึงใช้วิธีเดียวกันกับการคำนวณหาเปอร์เซ็นไทล์ต่างกันที่การแบ่งหมู่เท่านั้นคือการคำนวณควอไทล์แบ่งหมวดหมู่ออกเป็น 4 ส่วน แต่เปอร์เซ็นไทล์แบ่งหมวดหมู่ออกเป็น 100
ส่วน
ตัวอย่างตารางที่ 2 จงหาคำนวณหาคะแนนในตำแหน่ง Q3 ซึ่งคะแนนของนักศึกษา 50 คนดังนี้
คะแนน
|
ความถี่
|
10-19
|
2
|
20-29
|
8
|
30-39
|
9
|
40-49
|
14
|
50-59
|
8
|
60-69
|
6
|
70-79
|
3
|
N
= 50
|
วิธีทำ สร้างตารางแจกแจงความถี่สะสมจากคะแนนน้อยไปหาคะแนนมาก
คะแนน
|
ความถี่
|
ความถี่สะสม
|
10-19
|
2
|
2
|
20-29
|
8
|
10
|
30-39
|
9
|
19
|
40-49
|
14
|
33
|
50-59
|
8
|
41
|
60-69
|
6
|
47
|
70-79
|
3
|
50
|
N
= 50
|
Q3 ของข้อมูลขุดนี้อยู่ในตำแหน่งที่ =
(QxN) / 4
= (3x50) / 4
= 37.5
ตำแหน่งที่ 37.5 อยู่ในชั้นที่มีคะแนนระหว่าง 50-59 ดังนี้
Fn= 37.5
L = 49.5
I = 10
F1 = 33
F2 = 41
จากสูตร Qr = L+{(Fn-F1)/(F2-F1)}
Q3= 49.5+10{(37.5-33)
/ (41-33)}
= 49.5+10{(4.5) / (8)}
= 49.5+5.625
Q3 = 55.125
ดังนั้น คะแนนที่ตำแหน่ง Q3 ของข้อมูลชุดนี้ คือ 55.125
การหาตำแหน่งข้อมูลเป็นการบอกถึงตำแหน่งที่ข้อมูลอยู่
และยังสามารถบอกได้ด้วยว่ามีข้อมูลจำนวนเท่าไรที่มีค่าต่ำกว่าและข้อมูลจำนวนเท่าไรที่มีค่ามากกว่า
การหาตำแหน่งข้อมูลมี 3 ค่า ได้แก่ ควอไทล์
เดไซล์และเปอร์เซ็นไทล์จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 4 ส่วนเท่าๆกัน เดไซล์จะแบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น
10 ส่วน เท่าๆกันและเปอร์เซ็นไทล์จะแบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆ กัน
เปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์และควอไซล์
เป็นค่าที่แสดงตำแหน่งของข้อมูลเมื่อเทียบกับจำนวนของข้อมูลทั้งหมดทำให้ทราบว่ามีข้อมูลที่มีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับตัวมันอยู่เป็นจำนวนเท่าไรและมีข้อมูลที่มีค่าสูงกว่าตัวมันอยู่เป็นจำนวนเท่าไร
โดยเปอร์เซ็นไทล์จะแบ่งออกเป็น 100 ส่วนเท่าๆกัน เดไซล์จะแบ่งข้อมูลออกเป็น 10
ส่วนเท่ากันและควอไทล์จะแบ่งออกเป็น 4 ส่วนเท่า ๆ กัน
จากข้อมูลที่เก็บรวบรวมมาได้ นอกจากจะทำการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางแล้วยัง
สามารถหาค่าเปอร์เซ็นไทล์ เดไซล์และควอไทล์ ซึ่งเป็นค่าที่แสดงตำแหน่งของข้อมูลเพื่อเทียบกับจำนวนข้อมูลทั้งหมดจึงเป็นค่าที่แสดงให้ทราบว่ามีข้อมูลที่มีค่าต่ำกว่าหรือเท่ากับตัวมันอยู่
จำนวนเท่าไร และมีข้อมูลที่มีค่าสูงกว่าตัวมันอยู่จำนวนเท่าไรเช่น
การจัดอันดับผลของการสอบ เป็นต้น ในหน่วยนี้จะกล่าวถึงเรื่องของเปอร์เซ็นไทล์
เดไซล์และควอไทล์
